ரசூலின் முரண்பாடு: அடிப்படை தகவல், உதாரணங்கள், உருவாக்கம்

ரஸ்ஸல் முரண்பாடு இரண்டு சார்புடையவை தருக்க ஒன்றுக்கொன்று முரணான இரு நியாயமான உள்ளது.

ரசூலின் முரண்பாடு இரு வடிவங்கள்

தர்க்கம் தொகுப்புகளில் ஒரு முரண்பாடு மிகவும் அடிக்கடி விவாதிக்கப்பட்ட வடிவம். தொகுப்பு சில உறுப்பினர்கள் தங்களை, மற்றும் பலர் தெரிகிறது - இல்லை. அனைத்து தொகுப்புகளையும் தொகுப்பு தன்னை ஒரு தொகுப்பு ஆகும், எனவே அது தன்னை குறிக்கிறது என்று தெரிகிறது. பூஜ்ய அல்லது காலியாக, எனினும், தன்னை உறுப்பினராக இருக்க கூடாது. எனவே, பூஜ்ஜியமாக அனைத்து தொகுப்புகளையும் தொகுப்பு, தன்னை ஒரு சேர்க்கப்படவில்லை. முரண்பாடு ஏற்படும்போது தன்னை ஒரு உறுப்பினரின் என்பதை தொகுப்பு கேள்வி. என்றால் அது வெளியிடக் கூடாது என்பதால் இது சாத்தியமாகிறது.

மற்றொரு வடிவம் முரண்பாடு பண்புகள் பற்றிய ஒரு முரண்பாடு உள்ளது. சில பண்புகள், தங்களை குறிப்பதாக தெரிகிறது மற்றவர்களுக்கு இல்லை போது. சொத்து அது இருக்க போது ஒரு பூனை அல்ல சொத்து, சொத்து தன்னை ஒரு பண்பாகும் இருக்க வேண்டும். அவரை சேர்ந்தவை இல்லை என்று ஒரு சொத்து கொண்ட சொத்து கவனியுங்கள். அது தன்னை பொருந்தும் என்றால்? மீண்டும், அனுமானங்கள் எந்த எதிர் இருக்க வேண்டும். முரண்பாடு 1901 ஆம் ஆண்டில் அது கண்டுபிடித்த பெர்ட்ரண்ட் ரஸ்ஸல் (1872-1970), நினைவாக பெயரிடப்பட்டது.

கதை

திறப்பு ரசல் "கணிதம் கொள்கைகள்" அவரது பணி ஏற்பட்டது. அவர் சுதந்திரமாக முரண்பாடு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்றாலும், மற்ற கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் எர்ன்ஸ்ட் Zermelo உட்பட இணை கோட்பாட்டுடன் உருவாக்குநர்களான ஆதாரமும் இல்லை டேவிட் ஹில்பேர்ட், அவரை முன் முரண்பாடுகளின் முதல் பதிப்பு அறிந்தே இருந்தனர். ரஸ்ஸல், இருப்பினும், அவரது வெளியிடப்பட்ட பணிகளில் முரண்பாடு விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டது யார் முதல், முதல் தீர்வுகளை உருவாக்க முயற்சி மற்றும் முழுமையாக அதன் முக்கியத்துவம் பாராட்டிய முதலாவது இருந்தது. "கொள்கைகள்" ஒரு முழு அதிகாரம் இந்த பிரச்சினை பற்றிய விவாதம் ஒதுக்கப்பட்டிருந்தது, மற்றும் பயன்பாட்டு ரஸ்ஸல் ஒரு தீர்வாக முன்மொழிந்தார் வகையான கோட்பாடு, ஒதுக்கப்பட்டிருந்தது.

ரஸ்ஸல் எந்த தொகுப்பிலும் சக்தி அதன் உட்கணங்களும் தொகுப்பு விட சிறியதாக இருக்கும் என்று கூறுகிறார் என்று காண்டரின் கணவியல் பரிசீலித்து, பொய்யன் "முரண்பாடு 'கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. டொமைன் குறைந்தது ஒவ்வொரு உறுப்பு ஒன்று துணைக்குழு மட்டுமே இந்த உறுப்பு கொண்ட அமைக்கப்பட்டால், அதிலிருந்து அதை கூறுகள் உள்ளன என பல உட்கணங்களும் இருக்க வேண்டும். மேலும், கண்டோர் கூறுகள் எண்ணிக்கை உட்கணங்களும் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க முடியாது என்று நிரூபித்தது. அதே எண்ணை இருந்தன என்றால், அது தங்கள் துணை கூறுகள் காட்டாது அது ƒ அம்சம் இருப்பதாக வேண்டும். அதே நேரத்தில் அது இந்த சாத்தியமற்றது என்று நிரூபிக்க முடியும். மற்றவர்கள் இருக்கலாம் சில பொருட்களை, அவர்களை கொண்டிருக்கும் சார்பு ƒ உட்கணங்களும் தோன்றக்கூடும்.

இதில் அவர்கள் ƒ காட்ட தங்கள் படங்கள், சேர்ந்தவை வேண்டாம் என்று கூறுகள் துணைக்குழு கவனியுங்கள். அது தன்னை கூறுகள் ஒரு துணைக்குழு, எனவே, ƒ செயல்பாடு களத்தில் ஒரு உறுப்பு அதை காட்ட வேண்டும். சிக்கல் என்பது கேள்வி இந்த உறுப்பு அது ƒ காட்டுகிறது இது துணைக்குழு சொந்தமானது என எழுகிறது என்று. அது தொடர்பில்லாதது எனில் இந்த மட்டுமே சாத்தியம். ரசூலின் முரண்பாடு காரண அதே வரியில் ஒரு உதாரணம் காணலாம் மட்டும் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட. தொகுப்பு செட்கள் அல்லது உட்கணங்களும் - இன்னும் என்ன? அங்கு பெட்டிகள் தங்களை அனைத்து உட்கணங்களும் போன்ற, அதற்கு மேற்பட்ட தொகுப்புகளைக் இருக்க வேண்டும் என்று பார்க்கப்படுகின்றது. ஆனால் காண்டரின் தேற்றம் உண்மையாக இருந்தால், பிறகு, இன்னும் உட்கணங்களும் இருக்க வேண்டும். ரஸ்ஸல் வெறுமனே கருதப்படுகிறது தங்களை மீது செட் காட்ட இந்த அனைத்து கூறுகளையும், அவைகள் காட்டப்படமாட்டாது இதில் ஒரு தொகுப்பு வெளியே தொகுப்பு பரிசீலித்து kantoriansky அணுகுமுறை பயன்படுத்தப்படும். காட்டும் ரஸ்ஸல் அனைத்து தொகுப்புகளையும், ஒரு அல்லாத தொகுப்பு ஆகிறது.

பிழை Frege

"பொய்யன் முரண்பாடு" பெட்டிகள் கோட்பாடு வரலாற்று வளர்ச்சி ஒரு ஆழமான தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது. அவர் உலகளாவிய விதிமுறைகளின் தொகுப்புத் கருத்து மிகவும் பிரச்சினைக்குரியது என்று காட்டியது. அவர் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட நிலை அல்லது பயனிலை இந்த நிலையில் திருப்தி என்று மட்டும் காரியங்களுக்குச் பன்முக இருப்பதை தொடரலாம் என்ற கருத்து கேள்வி. பதிப்பு தொகுதிகளுடன் ஒரு இயற்கை நீட்டிப்பு - - பண்புகள் குறித்து விருப்பம் முரண்பாடு அது ஒரு சொத்து நோக்கம் இருப்பதையோ அல்லது அதன் ஒவ்வொரு நிலை அல்லது சிறப்புப் பயனிலை தீர்மானிக்கப்படுகிறது யூனிவர்சல் கடைப்பிடிப்பது குறித்து வாதிட முடியும் என பாரிய சந்தேகங்களை எழுப்பியுள்ளது.

ஒத்த ஊகங்கள் செய்த விரைவில் தர்க்கவியலாருக்கு வேலை முரண்பாடுகள் மற்றும் பிரச்சினைகள் காணப்படவில்லை தத்துவவாதிகள் மற்றும் கணிதவியலாளர்கள். ஆரம்ப XX நூற்றாண்டின் - 1902 ஆம் ஆண்டில், ரஸ்ஸல் முரண்பாடு வகையாக ஒரு தருக்க முறையில் வெளிப்படுத்தப்படக்கூடிய கோட்லாப் Frege யின் "கணித அஸ்திவாரம்" என்ற தொகுதி I, தாமதமாக XIX தர்க்கத்தின் முக்கிய படைப்புகளில் ஒன்றில் வளர்ந்த கண்டறியப்பட்டது. Frege என்னும் தத்துவத்தில் பலர் இதனை "நீட்டிப்பு" அல்லது "மதிப்பை தொலைவிலான" கருத்து புரிந்து. கருத்துக்கள் ஒத்திசைவுகள் அந்த நெருக்கமாகவே இருக்கும். அவர்கள் எந்த நிலை அல்லது பயனிலை வாழ்ந்திடுவர் எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. ஆகவே, அதன் வரையறுக்கும் கருத்து கீழ் வராத இது ஒரு செட், ஒரு கருத்தும் உள்ளது. இந்த நிலைப்பாட்டை ஏற்படுத்தியது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வர்க்கம் உள்ளது, அது வெளியிடக் கூடாது அதன் கருத்து வரையறுக்கும் உட்பட்டது.

ரஸ்ஸல் Frege இந்த மோதல் பற்றி கடித மிகவும் அற்புதமான ஒன்றாக இருந்தது ஜூன் 1902 ஆம் ஆண்டில் எழுதினார் மற்றும் தர்க்கம் வரலாற்றில் பற்றி பேசினார். Frege உடனடியாக முரணிலையின் பேரழிவு விளைவுகளை அங்கீகரித்தனர். அவர் தனது தத்துவங்களில் பண்புகள் தொடர்பாக சர்ச்சை பதிப்பு அளவுகளை கருத்துக்கள் வேறுபடுத்தி மூலம் தீர்க்கப்பட்டது என்று, எனினும், குறிப்பிட்டார்.

Frege கருத்து, உண்மை இயக்கத்திற்காக வாதங்கள் மாற்றம் என புரிந்துகொள்ளப்பட்டது. கருத்துக்கள் முதல் நிலை வாதங்கள் இரண்டாம் நிலை கருத்துக்கள் தொடர்பான பொருட்களுக்கு இது இந்த செயல்பாடுகளை வாதங்கள் மற்றும் எடுக்கும்போதே எடுத்து. இவ்வாறு, கருத்துப் வாதம் தன்னை எடுத்து முடியாது, மற்றும் பண்புகள் அடிப்படையில் முரண்பாடு முறைப்படுத்தலாம் முடியாது. இருப்பினும் பெட்டிகள், விரிவாக்கம் அல்லது கருத்துருவாக்கங்களோ Frege மற்ற அனைத்து பொருட்களின் அதே தருக்க வகை குறிப்பதாகவே புரிந்து. பின்னர் ஒவ்வொரு செட் அது வரையறுக்கும் கருத்து கீழ் விழும் என்பதை ஒரு கேள்வி உள்ளது.

Frege, ரஸ்ஸல் முதல் கடிதம், "கணித அஸ்திவாரம்" இரண்டாவது தொகுதி பெற்றபோது ஏற்கனவே அச்சு முடிந்துவிட்டது. அவர் விரைவில் ரஸ்ஸல் முரண்பாடு ஒரு பதில் கொடுக்கும் ஒரு பயன்பாடு தயார் வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருந்தார். எடுத்துக்காட்டுகள் Frege சாத்தியமான தீர்வுகள் ஒரு எண் உள்ளது. ஆனால் அவர் ஒரு தருக்க முறையில் சாராம்சம் தொகுப்பு கருத்து பலவீனமாக்க முடிவுக்கு அவர் வந்தார்.

அசலில், அது பொருள் தொகுப்பு சொந்தமானது என்று இருந்தால் மட்டுமே அது கருத்து வீழ்ந்திருக்கின்றது என்றால், அது வரையறுக்கிறது முடிவுக்கு சாத்தியமாக இருந்தது. திருத்தப்பட்ட அமைப்பு மட்டுமே அது ஒரு பன்முக வரையறுக்கும் கருத்தை வீழ்ந்திருக்கின்றது, ஆனால் கேள்வி அமைக்க தெரியாமல் தான் என்றால் பொருள் தொகுப்பு சொந்தமானது என்று முடிவுக்கு முடியும். ரசூலின் முரண்பாடு எழுகிறது.

தீர்வு, எனினும், Frege முழுமையாக திருப்தி. இந்த காரணம். பல ஆண்டுகள் கழித்து, முரண்பாடு மிகவும் சிக்கலான வடிவம் திருத்தப்பட்ட அமைப்பு கண்டறியப்பட்டுள்ளது. ஆனால் அது நடக்கவில்லை முன்பே, Frege அவரது முடிவுகளை விட்டு விட்டு, அவரது அணுகுமுறை வெறுமனே தடைசெய்வது பயன்தராது என்று முடிவுக்கு வருவதற்கு போல் என்று தர்க்கம் பெட்டிகள் எந்த இல்லாமல் செய்ய வேண்டும்.

இன்னும் சில முன்மொழியப்பட்டுள்ளன, ஒப்பீட்டளவில் மிகவும் வெற்றிகரமான மாற்று தீர்வுகளை வேண்டும். இவை கீழே விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன.

வகையான கோட்பாடு

மேலே என்று Frege முரணிலைகளை போதுமான பதில் இருந்தது அது முக்கியமாக பேசப்பட்டது கண தேற்றம் பண்புகளை முறைப்படுத்தலாம் பதிப்பில். Frege பதில் முரண்பாடு இந்த வடிவத்தில் மிகவும் அடிக்கடி விவாதிக்கப்பட்ட தீர்வு நடைபெற்றிருந்தது. அது பண்புகள் பல்வேறு வகையான உட்பட்டவை மற்றும் சொத்து என்ன வகை ஒருபோதும் அது குறிக்கிறது உருப்படிகளை அதே தான் என்ற உண்மையை அடிப்படையாக கொண்டது.

இவ்வாறு, கூட கேள்வி எழுகிறது, சொத்து தன்னை பொருந்தும் என எதுவாகவும் இருக்கலாம். வகையான கோட்பாடு பயன்படுத்தி, இது போன்ற ஒரு படிநிலையில் உறுப்புகளை பிரித்தெடுக்கும் தருக்க மொழி. அது ஏற்கனவே Frege, முதல் முறையாக பயன்படுத்தப்படுகிறது என்றாலும் அது முழுமையாக விளக்கினார் மற்றும் "கொள்கையளவில்" என்று இணைப்பு ரஸ்ஸல் உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது. வகையான கோட்பாடு Frege அளவுகளை வேறுபாட்டை விட நிறைவு செய்தார். அவள் பண்புகள் தர்க்கம் பல்வேறு வகையான, ஆனால் அமைக்க மட்டுமல்ல பகிர்ந்துள்ளார். ரஸ்ஸல் பின்வருமாறு முரண்பாடு உள்ள முரண்பாடு தீர்க்க கோட்பாடு தட்டச்சு செய்யவும்.

ஒரு தத்துவ போதுமானதாக இருக்கும் பொருட்டு, பண்புகள் வகையான கோட்பாடு தத்தெடுப்பு அவர்கள் தங்களை பயன்படுத்த முடியாது ஏன் என்று விளக்க முடியும் என்று பண்புகள் இயற்கையின் கோட்பாடு உருவாக தேவைப்படுகிறது. முதல் பார்வையில், தங்கள் சொந்தச் சொத்தாகவே சம்மதிப்பதற்கு அர்த்தமுள்ளதாக. சுய அடையாளத்தை என்ற சொத்து, இது காணப்படும் போது இது ஒரு சுய அடையாளம் ஆகும். சொத்து ஒரு நல்ல இன்பம் தெரிகிறது. அதே வழியில், வெளிப்படையாக, அது தவறான ஒரு பூனை என்ற சொத்து ஒரு பூனையா என்று தெரிகிறது.

இருப்பினும், பல்வேறு சிந்தனையாளர்கள் பல்வேறு வகையான பிரிவு நியாயப்படுத்தினார். ரஸ்ஸல் கூட அவரது வாழ்க்கையில் வெவ்வேறு நேரங்களில் வெவ்வேறு விளக்கங்கள் கொடுத்தார். அதன் பங்கிற்கு, Frege நிலைகள் பல்வேறு கருத்துக்கள் பிரிப்பு காரணம் நிறைவுறா கருத்துக்கள் அவரது தத்துவத்தில் இருந்து வருகிறது. செயல்பாடாக கருத்துகள், சாரத்தில், முழுமையற்றதாகவும் இருக்கும். மதிப்பு வழங்க, அவர்கள் ஒரு வாதம் வேண்டும். அது இன்னும் அதன் வாதம் தேவைப்படுவதால், உங்களால், அதே வகை கருத்து சம்மதிப்பதற்கு இல்லை ஒரு கருத்து முடியும். உதாரணமாக, பல சதுர வேர் சதுர ரூட் எடுப்பதற்குச் சாத்தியமாக இருக்கிறது என்றாலும், நீங்கள் ஒரு சதுர ரூட் செயல்பாடு சதுர ரூட் செயல்பாடு பயன்படுத்த மற்றும் விளைவாக பெற முடியாது.

பழமைவாதம் பண்புகள் பற்றி

மற்றொரு நல்ல தீர்வாகும் எந்த நிலைகளுடன் அல்லது ஒரு நன்கு வடிவமைக்கப்பட்ட பயனிலை கீழ் முரண்பாடு பண்புகள் மறுப்பு பண்புகள் இருப்பு உள்ளது. நிச்சயமாக, யாரோ ஒரு முழு இருவரும் நோக்கம் மற்றும் சுயாதீன உறுப்புகள் மனோதத்துவ பண்புகள் eschews என்றால், நாம் -பல்வேறு முரண்பாடு எடுத்து என்றால் முற்றிலும் தவிர்க்க முடியும்.

எனினும், ஒன்றுக்கொன்று முரணான இரு நியாயமான தீர்க்க மிகவும் தீவிர இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. தர்க்கம் உயர்வான வரிசையாகவும் அமைப்புகள் அதன்படி, Frege மற்றும் ரஸ்ஸல் வளர்ந்த ஒரு கருத்துரு கோட்பாடு என்று அழைக்கப்பட்டது என்ன கொண்டிருக்கின்றன ஒவ்வொரு திறந்த சூத்திரங்கள் பொருட்படுத்தாமல் ஒரு சொத்து அல்லது உதாரணமாக கருத்து சூத்திரம் பொருந்தும் மட்டும் அந்த பொருட்களை பகுதியாக உள்ளது எப்படி வளாகத்தின். அவர்கள் எப்படி சிக்கலான விஷயம் பாதிப்புகள் அல்லது பயனிலைகளை அனுமதிப்பதால், ஒவ்வொரு சாத்தியமான தொகுப்பு பண்புகளை பயன்படுத்தப்படும்.

இருப்பினும், அது சரியான எளிய பண்புகள் நோக்கம் இருப்புடன், எடுத்துக்காட்டாக, போன்ற சிவப்பு நிறம், உறுதியான, இரக்கம் மற்றும் பல கொடுத்து உட்பட ஒரு கடுமையான மெட்டாபிசிக்ஸின் பண்புகள் எடுப்பதற்குச் சாத்தியமாக இருந்தது. டி நீங்கள் கூட இந்த பண்புகள் போன்ற இரக்கம், தங்களை விண்ணப்பிக்க அனுமதிக்கலாம் முடியும் அன்பாய் இரு.

மற்றும் சிக்கலான பண்புகளை அதே நிலையை உதாரணமாக, அத்தகைய பதினேழு தலைகள் குறித்த "பண்புகள்", கீழ் நீர் வேண்டும் எழுதப்பட்டு போன்ற. டி இந்த வழக்கில், எந்த முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட நிலையில் சொத்து பூர்த்தி செய்யவில்லை, தனியாகவும் புரிந்து, நிராகரிக்கப்படலாம் இருக்கும் அதன் சொந்த பண்புகள் கொண்ட உறுப்பு. எளிய பண்புகள் இருப்பதை இப்படித்தான் ஒருவர் மறுக்க முடியும்-சொத்து என்று அல்லாத-முறையிலான என்பதைச் மற்றும் கூடுதல் எச்சரிக்கையான மனோதத்துவ பண்புகள் பயன்படுத்துவதன் மூலம் முரண்பாடு தவிர்க்க.

ரசூலின் முரண்பாடு: தீர்வு

அது அவரது வாழ்நாளின் இறுதியில் Frege முற்றிலும் தொகுப்புகளின் தர்க்கம் கைவிடப்பட்ட தன்மையைக் கொண்டிருந்ததாகக் மேலாக. இது நிச்சயமாக, ஒரு ஒன்றுக்கொன்று முரணான இரு நியாயமான அமைக்கிறது வடிவில் தீர்வு: ஒரு முழு போன்ற உறுப்புகள் இருப்பதை ஒரு எளிய மறுப்பு. கூடுதலாக, இது அடிப்படைகள் கீழே காட்டப்படுகின்றன, மற்ற பிரபலமான தேர்வுகள் உள்ளன.

பல வகையான கோட்பாடு

முந்தைய குறிப்பிட்டபடி, ரஸ்ஸல் வெவ்வேறு வகையான பண்புகள் அல்லது கருத்துக்கள் மட்டுமே பகிர்ந்து கொள்ளக் கூடியவர்கள் வகைகளில் இன்னும் முழுமையான கோட்பாடு அணிக்காக விளையாடினார், ஆனால் அமைக்க. ரஸ்ஸல் பகிர்ந்தார்கள் தனி அலகுகள் ஒரு பன்முக அமைக்க, தனி பொருட்களை, முதலியன தொகுப்புகளின் ஒரு பன்முக பொருட்களின் தொகுப்புக்களை கருதப்படவில்லை, மற்றும் தொகுப்புகள் பன்முக - .. அமைக்கும். ஒருபோதும் நிறைய வகை அனுபவித்து நீங்கள் தன்னை உறுப்பினராக வைத்திருக்க உதவுகிறது. எனவே அங்கு ஏனெனில் அது ஒரு உறுப்பினராக என்பதை தன்னை ஒரு மீறல் வகையாகும் பற்றி கேள்விகள் எந்த செட், அதன் சொந்த உறுப்பினர்களாக இல்லாதவர்களை என்று அனைத்து தொகுப்புகளையும் தொகுப்பில்லாத உள்ளது. மீண்டும், இங்கே பிரச்சினை வகைகளாக பிரிவின் தத்துவ அடித்தளங்களை விளக்க மெட்டாபிசிக்ஸின் பெட்டிகள் விளக்க வேண்டும்.

அடுக்கமைவுகளை

1937 இல், வி.வி.எஸ் Kuayn வகையான கோட்பாடு ஒத்த ஒரு வழியில், ஒரு மாற்று தீர்வு முன்வந்துள்ளார். அதை பற்றி அடிப்படைத் தகவல் உள்ளன.

உறுப்பு பெட்டிகள் மற்றும் பலர். ஒரு பன்முக கண்டறியும் அனுமானம் எப்போதும் தவறான அல்லது அர்த்தமற்ற அதனால் மேட் பிரித்தல். தொகுப்புகள், அவற்றின் நிலைமைகள் வரையறுக்கும் போது மட்டுமே வழங்கப்படும் ஒரு மீறல் வகை இல்லை. இவ்வாறு, குவின் க்கான, வெளிப்பாடு "x, x இன் உறுப்பினராக உள்ளார்" அர்த்தமுள்ள அறிக்கை இந்த நிலையில் பூர்த்தி அனைத்து கூறுகளையும் x இன் தொகுப்பு இருப்பதை பொருள் அல்ல உள்ளது.

இந்த அமைப்பில் ஒரு அமைக்கப்பட்டால் மற்றும் இது அடுக்கிவைக்கப்படக்கூடிய மட்டுமே, டி. ஈ மாறிகள் என்று வருகிறது முந்தைய அது மாறி ஒரு பன்முக ஒவ்வொரு பண்பு நிகழ்வு ஒதுக்கீட்டை அலகு ஒதுக்கப்படும் மாறி விட சிறியதாக நேர்மறை முழு ஒதுக்கப்படும் என்றால் சில திறந்த சூத்திரம் ஒரு உள்ளது, அவரை பின்பற்றுவதும். இந்த தொகுதிகள் ரஸ்ஸெல்லின் முரண்பாடு சூத்திரம் பிரச்சனை தொகுப்பு தீர்மானிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதால், அங்கு அதே முன்பும் மாறி உறுப்பினர் அடையாளம் அது கணக்கற்ற செய்த பின் உள்ளது.

ஆனால் அது குவின் "கணித தர்க்கம் புதிய அடித்தளங்கள்" சீரான என்று அழைத்தனர் விளைவாக அமைப்பு, என்பதை தீர்மானிக்க இன்னும் உள்ளது.

நிராகரித்தல்

Fraenkel (இஸட்எஃப்) - ஒரு முற்றிலும் வேறுபட்ட அணுகுமுறை Zermelo கோட்பாடு இருந்து எடுக்கப்படுகிறது. இங்கே கூட, செட்டுகள் இருப்பு ஒரு எல்லை அமைக்க. மாறாக, ரஸ்ஸல் மற்றும் Frege, இன் "மேலிருந்து கீழான" ஆரம்பத்தில் அனைத்து கருத்துக்கள், பண்புகள், அல்லது நிலைமைகள் இந்தச் சொத்தை எல்லா சேவைகளும் தொகுப்பு இருப்பதை பரிந்துரைக்கலாம் அல்லது இஸட்எஃப் கோட்பாடு, அத்தகைய ஒரு நிலை சந்திக்க இருப்பதாக கருதினார் அணுகலாம், எல்லாம் துவங்குகிறது "கீழிருந்து மேல் இருந்து."

காலியாக தொகுப்பு மற்றும் தனிப்பட்ட கூறுகள் ஒரு தொகுப்பு உருவாக்குகின்றன. எனவே, முந்தைய அமைப்புகள் மற்றும் ரஸ்ஸல் Frege FIT போலல்லாமல் இது அனைத்து கூறுகளையும், இவை அனைத்தையும் செட் அடங்கும் உலகளாவிய தொகுப்பு உரியதல்ல. இஸட்எஃப் பெட்டிகள் இருப்பதை கடுமையான கட்டுப்பாடுகள் அமைக்கிறது. அந்த எந்த அது தெளிவாக ஒப்புக்கொள்ளப்பட்டுள்ளது அல்லது மறுசெய்கையுடைய செயல்முறைகள் மற்றும் போன்ற மூலம் செய்யப்படலாம் இது மட்டுமே இருக்கலாம். டி

பின்னர், ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட அது பயன்படுத்தப்படும் மெக்சிகோ நகரம், பிரிவு அல்லது "வரிசைப்படுத்த" பிரிப்பு கொள்கையளவில் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி மட்டுமே என்றால் என்று குறிப்பிடும் பதிலாக கருத்து சாராம்சம் அப்பாவியாக தொகுப்பு. மாறாக ஒவ்வொரு இருக்கும் செட் விதிவிலக்கு இல்லாமல் இவை அனைத்து கூறுகளையும் தொகுப்பு இருப்பதை அனுமானித்து ஒரு குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளை நிறைவு இன் Aussonderung நிலையில் திருப்திப்படுத்தக் கூடிய அசல் தொகுப்பில் அனைத்து கூறுகளையும் ஒரு துணைக்குழு இருப்பதை குறிக்கிறது.

பின்னர் சாராம்சம் கொள்கை வருகிறது: தொகுப்பு ஒரு ஏ அனைத்து x க்காக பின்னர், முன்பே இருந்தால், x இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே எக்ஸ் பூர்த்திசெய்யும் நிலையில் சி இந்த அணுகுமுறை முரண்பாடு ரஸ்ஸல் தீர்க்கிறது, முதல் நாங்கள் வெறுமனே கருதி முடியாது நிபந்தனை திருப்திப்படுத்தக் கூடிய துணைக்குழு A க்கு சொந்தமானது என்று, தங்களை உறுப்பினர்களாக இல்லாதவர்களை என்று அனைத்து தொகுப்புகளையும் தொகுப்பாகும்.

பெட்டிகள் நிறைய கொண்ட, நீங்கள் தேர்ந்தெடுக்க முடியும் அல்லது தங்களை அவை தொகுப்புகளும், அத்தகைய இல்லாதவர்களை அதை பிரித்து, ஆனால் எந்த உலகளாவிய தொகுப்பு அங்கு என்பதால் நாம் அனைவரும் பெட்டிகள் தொகுப்பு பிணைப்புறுவதில்லை. பிரச்சனை அனுமானித்து இல்லாமல் ரஸ்ஸல் முரண்பாடு நிரூபிக்கப்பட்ட முடியாது அமைக்கிறது.

மற்ற தீர்வுகள்

கூடுதலாக, போன்ற "கணிதம் கொள்கைகள்" அமைப்பு விரிவாக்கம் "கணித தர்க்கம்" குவின், அத்துடன் பெட்டிகள் கோட்பாடு இன்னும் சமீபத்திய முன்னேற்றங்கள் யின் ஒரு கிளையான வகை கொள்கையை அவரைத் நீட்சிகள் அல்லது இந்தத் தீர்வுகளின் மாற்றங்கள், வந்துள்ளன, பெர்னேஸ், இது கோடல் மற்றும் வான் நியூமன் செய்தார். கரையாத முரண்பாடு பெர்ட்ரண்ட் ரஸ்ஸல் பதில் காணப்படும் என்ற கேள்வி இன்னும் விவாதத்திற்குரிய பொருளாகவே உள்ளது.