காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த. காலவரையற்ற Integrals கணக்கீடு

கணித பகுப்பாய்வு அடிப்படை பிரிவுகளில் ஒன்று முழுமை கணிப்பு உள்ளது. அது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த - அது பொருட்களை, அங்கு முதல் ஒரு மிகவும் பரந்த துறையில் உள்ளடக்கியது. உயர் பள்ளியில் பயின்று என்று ஒரு முக்கிய உயர் கணிதம் விவரிக்கும் வாய்ப்புக்கள் மற்றும் வாய்ப்புகளை அதிகரித்து, வெளிப்படுத்துகிறது போன்ற நிலை அது நிற்கிறது.

தோற்றம்

முதல் பார்வையில், அது நவீன, மேற்பூச்சு முற்றிலும் ஒருங்கிணைந்த தெரிகிறது, ஆனால் நடைமுறையில் அது அவர் மீண்டும் 1800 ஆம் ஆண்டில் வந்தது என்று மாறிவிடும் கி.மு.. எங்களுக்கு அதன் இருப்பை முந்தைய ஆதாரங்கள் அடையவில்லை என முகப்பு அதிகாரப்பூர்வமாக எகிப்து கருதப்படும். அது தகவல் இல்லாத காரணத்தால் இல்லாததால், அனைத்து போது ஒரு நிகழ்வு என்று வெறுமனே நிலைநிறுத்தியுள்ளது. அவர் மீண்டும் அந்த முறை மக்கள் அறிவியல் வளர்ச்சி நிலை உறுதிப்படுத்துகிறது. இறுதியாக, படைப்புகள் காணப்படவில்லை , பண்டைய கிரேக்கம் கணிதவியலாளர்கள் 4 ஆம் நூற்றாண்டு கி.மு. டேட்டிங். அவர்கள் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த, இது சாரம் ஒரு வளைகோட்டு வடிவம் எண்ணிக்கையை அல்லது பகுதியில் (முப்பரிமாண மற்றும் இரு பரிமாண விமானம், முறையே) கண்டுபிடிக்க அங்கு பயன்படுத்தப்படும் முறையைக் குறிப்பிடுகின்றன. கணக்கீடு எல்லைமிகுந்த கூறுகளாகப் பிரிக்கிறது அசல் படத்தின் பிரிவின் கொள்கை அடிப்படையாக கொண்டது, தொகுதி (பகுதி) அவர்களை ஏற்கனவே அறியப்படுகிறது என்று வழங்கப்படும். காலப்போக்கில் வளர்ந்து வருவதால், முறை, ஆர்க்கிமிடிஸ் அது ஒரு பாரபோலா பகுதியில் கண்டறியப் பயன்படுத்தப்படலாம். அதே நேரத்தில் இதே கணக்கீடுகள் பண்டைய சீனா, அவர்கள் கிரேக்கம் சக அறிவியல் இருந்து முற்றிலும் சுயாதீனமான அங்கு உள்ள பயிற்சிகளுக்காகத்தான்.

வளர்ச்சி

லெவன் நூற்றாண்டு கி.மு. அடுத்த திருப்புமுனை அரபு அறிஞர் வேலை மாறிவிட்டது "வேகன்" எல்லைகளை தள்ளப்பட்ட அபு அலி அல்-Basri, ஏற்கனவே அறியப்பட்ட, நான்காவது இடத்திற்கு முதல் அளவில் மற்றும் டிகிரி பணத்தை கணக்கிட்டு நமக்குத் தெரிந்தவரையில் இந்த விண்ணப்பிக்கும் தொகையீட்டு சூத்திரம் இருந்து பெறப்படுவது தூண்டல் முறை.
இன்று மைண்ட்ஸ் பண்டைய எகிப்தியர்கள் தங்கள் சொந்த கைகளின் என்று தவிர, எந்த சிறப்பு கருவிகள் இல்லாமல் அற்புதமான நினைவுச்சின்னங்கள் உருவாக்கப்பட்ட போற்றப்பட்டு, ஆனால் நேரம் இல்லை குறைவாக ஒரு அதிசயம் ஒரு சக்தி பைத்திய விஞ்ஞானிகளுக்குத் அல்ல? தங்கள் வாழ்க்கையின் தற்போதைய முறை ஒப்பிடுகையில் கிட்டத்தட்ட பழமையான தெரிகிறது, ஆனால் காலவரையற்ற Integrals முடிவு எங்கும் கண்டறிந்தார் மேலும் வளர்ச்சி பயிற்சி பயன்படுத்தப்படும்.

அடுத்த படி இத்தாலிய கணிதவியலாளர் கவலிரியின் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது இதில் பிரிக்கப்படவியலாதது முறை, கொண்டு வந்த போது, பதினாறாம் நூற்றாண்டில் நடந்தது பெர் ferma. இந்த இரண்டு ஆளுமை நேரத்தில் அழைக்கப்படும் நவீன முழுமை கணிப்பு அடித்தளமாகவும் தீட்டப்பட்டது. அவர்கள் முன்பு தன்னிறைவான அலகுகள் காணப்பட்டனர் இது வகையீடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு கோட்பாடுகளாகும், இணைந்துள்ளார். மூலம் மற்றும் பெரிய, அந்த நேரத்தில் கணிதம் துண்டுதுண்டாக துகள்கள் கண்டுபிடிப்புகள் மட்டுப்படுத்தப்பட்ட பயன்படுத்தி, தங்களை மூலம் உள்ளன இருந்தது. ஒன்றுபட மற்றும் பொதுவான தரையில் கண்டுபிடிக்க வே அவரை நன்றி, நவீன, நேரத்தில் மட்டும் உண்மை இருந்தது கணித ஆய்வு வளர மற்றும் உருவாக்க வாய்ப்பு கிடைத்தது.

காலப்போக்கில் எல்லாம் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த சின்னமாக அதே மாற்றுகிறது. மூலம் மற்றும் பெரிய, அது அவரது சொந்த வழியில், எடுத்துக்காட்டாக, நியூட்டன் ஒரு integrable செயல்பாடு வைத்து, அல்லது வெறுமனே ஒன்றாக இது ஒரு சதுர ஐகான், பயன்படுத்தப்படும் விஞ்ஞானிகள் அறிவிக்கப்பட்டது. இந்த வேறுபாட்டை கணித ஆய்வு விஞ்ஞானி Gotfrid Leybnits முழு கோட்பாடு ஒரு மைல்கல் நமக்கு மிகவும் பழக்கமான வருகிறது ஒரு பாத்திரம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட போது பதினேழாவது நூற்றாண்டு வரை இருந்த நீடித்தது. நீளமான "எஸ்" உண்மையில் இந்த கடிதம் மூலம் கிடைக்கின்றது , ரோமன் எழுத்துக்களில் மூலங்களின் தொகை குறிக்கிறது என்பதால். ஒருங்கிணைந்த பெயர் 15 ஆண்டுகளுக்கு பிறகு, ஜேகப் பெர்னோல்லியின் நன்றி பெற்றார்.

முறையான வரையறை

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த பழமையான வரையறை பொறுத்தது, நாம் முதலில் என்று நாங்கள் கருதுகிறோம்.

Antiderivative - வழித்தோன்றல் தலைகீழ் செயல்பாடு, நடைமுறையில் அது பழமையான எனப்படுகிறது. இல்லையெனில்: d இன் பழமையான செயல்பாடு - ஒரு செயல்பாடு டீ என வழித்தோன்றல் வி <=> வி 'v = உள்ளது. பழமையான தேடுதல் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த கணக்கிட, மற்றும் செயல்முறை தன்னை ஒருங்கிணைப்பு அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணம்:

செயல்பாடு கள் (y) என்ற = ஒய் ^3, மற்றும் அதன் பண்டையக் எஸ் (ஒய்) = (ஒய் ^4/4).

செயல்பாடு அனைத்து மூலங்களின் தொகுப்பு - இந்த காலவரையற்ற அங்கம் பின்வருமாறு அது குறிக்கப்படுகிறது: ∫v (x) என்பது dx எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது.

உண்மையில் வி (x) என்பது அந்த பண்பு மூலம் - சில பழமையான அசல் செயல்பாடு, வெளிப்பாடு பெற்றுள்ளார்: ∫v (x) என்பது டிஎக்ஸ் = வி (x) என்பது + சி, இதில் C - நிலையான. அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால் தன்னிச்சையான நிலையான கீழ், எந்தவொரு நிலையான குறிக்கிறது.

பண்புகள்

காலவரையற்ற தொகையிடுதல் மூலம் கொண்டிருந்தன பண்புகள், அடிப்படையில் வரையறை மற்றும் தொடர்பான கூறுகள் பண்புகளை அடிப்படையாகக்.
முக்கிய புள்ளிகள் கவனியுங்கள்:

• பழமையான ஒருங்கிணைந்த வழித்தோன்றல் தன்னை பிளஸ் ஒரு தன்னிச்சையான நிலையான சி <=> ∫V பழமையான உள்ளது '(x) என்பது டிஎக்ஸ் = வி (x) + சி;
• ஒரு செயல்பாடு ஒருங்கிணைந்த தருவிக்கப்பட்ட <=> (∫v (x) என்பது டிஎக்ஸ்) 'அசல் செயல்பாடு ஆகும் = V (x);
• நிலையான ஒருங்கிணைந்த அடையாளம் <=> ∫kv (x) என்பது கீழ் இருந்து வெளியே எடுத்து டிஎக்ஸ் = k∫v (x) என்பது டிஎக்ஸ், k என்பது எங்கே - தன்னிச்சையான உள்ளது;
• அடையாளங்களையே சம தொகை இருந்து Integrals தொகை <=> ∫ (V (y) என்ற + W (y) என்ற) டிஒய் = ∫v (y) என்ற டிஒய் + ∫w (y) என்ற டிஒய் கொண்டு செல்லப்பட்டார் இது, ஒருங்கிணைந்த.

கடந்த இரண்டு பண்புகளாக காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த நேர்கோட்டு என்று முடிவு செய்ய முடியும். இதன் காரணமாக, நாம் பெறுவது: ∫ (கே.வி. (y) என்ற டிஒய் + ∫ எல்.டபுல்யு (y) என்ற) டிஒய் = k∫v (y) என்ற டிஒய் + l∫w (y) என்ற டிஒய்.

தீர்வுகளை காலவரையற்ற Integrals சரிசெய்ய உதாரணங்கள் பார்க்க.

நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த ∫ (3sinx + 4cosx) டிஎக்ஸ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

• ∫ (3sinx + 4cosx) டிஎக்ஸ் = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + சி = 4sinx - 3cosx + சி

உதாரணமாக இருந்து நாங்கள் உங்களுக்கு காலவரையற்ற Integrals எப்படி தீர்க்க தெரியாது என்ற முடிவுக்கு முடியும்? வெறும் அனைத்து மூலங்கள் கண்டுபிடிக்க! ஆனால் கொள்கைகளை தேடல் கீழே விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது.

முறைகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒருங்கிணைந்த தீர்க்க பொருட்டு, நீங்கள் பின்வரும் முறைகளை நாட முடியும்:

• அட்டவணை பயன்படுத்தி கொள்ள தயாராக;
• பாகங்களால் ஒருங்கிணைப்பதன்;
• மாறி மாற்றியமைப்பதன் மூலம் ஒருங்கிணைந்த;
• வேற்றுமை அடையாளம் கீழ் சுருக்கமாகக் கூறுகிறது.

அட்டவணைகள்

மிகவும் எளிய மற்றும் சந்தோசமானது வழி. நேரத்தில், கணித ஆய்வு காலவரையற்ற Integrals அடிப்படையை உறுதியாக வெளியே எழுத்துக்கூட்டப்பட்டுள்ளதை எந்த மிகவும் விரிவான அட்டவணைகள், பெருமை கொள்ளலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் வரை பெறப்பட்ட வார்ப்புருக்கள் உள்ளன மற்றும் நீங்கள் மட்டும் அவர்களை பயன்படுத்தி கொள்ள முடியும். இங்கே ஒரு தீர்வு உள்ளது, கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு தருணத்திலும் காட்டப்படும் முடியும் பிரதான அட்டவணை நிலைகள், பட்டியல் பின்வருமாறு:

• ∫0dy = சி, இதில் C - நிலையான;
• ∫dy = Y + சி, இதில் C - நிலையான;
• ∫y ^N டிஒய் = (ஒய் ^{n +1)} /, (n + 1) + சி, இதில் C - ஒரு நிலையான, மற்றும் n - ஒன்றுபடுவதிலிருந்து வெவ்வேறு எண்;
• ∫ (1 / y) என்ற டிஒய் இச்சார்புக்கு | ஒய் | + சி, இதில் C - நிலையான;
• ^{∫e ஒய் டிஒய் = இ Y + சி} , இதில் C - நிலையான;
• ^{∫k ஒய் டிஒய் = (கே ஒய் /} Ln கே) + சி, இதில் C - நிலையான;
• ∫cosydy = siny + சி, இதில் C - நிலையான;
• ∫sinydy = -cosy + சி, இதில் C - நிலையான;
• ∫dy / காஸ் ² ஒய் = tgy + சி, இதில் C - நிலையான;
• ∫dy / பாவம் ² ஒய் = -ctgy + சி, இதில் C - நிலையான;
• ∫dy / (1 + Y ²⁾ = arctgy + சி, இதில் C - நிலையான;
• ∫chydy = வெட்கப்பட்டார் + சி, இதில் C - நிலையான;
• ∫shydy = CHY + சி, இதில் C - நிலையான.

தேவைப்பட்டால், சீரமைப்புப் பார்வை நடவடிக்கை ஒரு ஜோடி தொகையீட்டுச் வழிவகுக்கும் செய்ய மற்றும் வெற்றி அனுபவிக்க. உதாரணம்: ∫cos (5x -2) டிஎக்ஸ் = 1 / 5∫cos (5x - 2) ஈ (5x - 2) = 1/5 எக்ஸ் பாவம் (5x - 2) + சி

முடிவு படி அது உதாரணமாக ஒரு அட்டவணை தொகையீட்டுச் பெருக்கி 5. நாம் அது இணையாக இந்த பெருக்குவதன் மூலம் 1/5 நிகழ்த்தப்பட்ட பொது வெளிப்பாடு மாற்ற வில்லை சேர்க்க இல்லாத என்பது தெளிவு.

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு

z, (y) என்ற மற்றும் x (y) என்ற - இரண்டு செயல்பாடுகளை கருதுகின்றனர். அவர்கள் அதன் களத்தில் தொடரான வித்தியாசமான இருக்க வேண்டும். ஒரு வகையீடு பண்புகள் நாம் வேண்டும்: ஈ (XZ) = xdz + zdx. இருபுறமும் ஒருங்கிணைத்தல், நாம் பெறுவது: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = ZX: விளைவாக சமன்பாடு ரீரைட்டிங், நாம் பாகங்களால் ஒருங்கிணைப்பு முறை விவரிக்கும் சூத்திரம், கிடைக்கும்.

ஏன் அவசியம்? உதாரணங்கள் அது எளிமைப்படுத்த முடியும் சில, தான் சொல்கிறேன் என்ற உண்மையை, ∫zdx ∫xdz குறைக்க பிந்தைய அட்டவணை வடிவம் அருகில் உள்ளது என்றால். மேலும், இந்த சூத்திரம் உகந்த முடிவுகளை, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை பயன்படுத்த முடியும்.

எப்படி காலவரையற்ற Integrals இந்த வழியில் தீர்க்க:

• ∫ (கள் + 1) இ ^2s DS கணக்கிட தேவையான

∫ (X + ^{1) = {Z = இ 2s DS} கள் + 1, DZ = DS, y = 1 ^{/ 2e 2s, டிஒய் = இ 2x} DS} = ((கள் + 1) இ ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s டிஎக்ஸ் = ((கள் + 1) இ ^2s) / 2-இ ^2s / 4 + சி;

• ∫lnsds கணக்கிட வேண்டும்

∫lnsds = {Z = LNS, DZ = DS / கள் y = கள், டிஒய் = DS} = slns - ∫s எக்ஸ் DS / வி = slns - ∫ds = slns -s + சி = வி (LNS-1) + சி

மாறி பதிலாக

காலவரையற்ற Integrals தீர்க்கும் இந்த கொள்கை இல்லை சிக்கலான என்றாலும், முந்தைய இரண்டு விட தேவை குறைந்துள்ளது. பின்வருமாறு முறையாகும்: நாம் வி (x) என்பது - சில செயல்பாடு V (x) ஒருங்கிணைந்த. என்று தன்னை எடுத்துக்காட்டு slozhnosochinenny முக்கியமான அங்கம் வருகிறது நிகழ்வில், குழப்பி மற்றும் தவறான பாதையில் தீர்வுகளை கீழே செல்ல வாய்ப்பு உள்ளது. இந்த பயிற்சி இதில் எக்ஸ் பொறுத்து z, பேணுகிறது பொது வெளிப்பாடு பார்வை எளிமைப்படுத்தப்பட்ட z இல் மாறி x இருந்து மாற்றம், தவிர்க்க.

பின்வருமாறு கணிதவியல் ரீதியாக, இது: (x) என்பது டிஎக்ஸ் = ∫v ∫v (ஒய் (Z)) ன் '(Z) DZ = வி (Z) = வி (ஒய் -1 (x)) இடைவெளியைக், அங்கு x = y என்று ( z) என்று - பதிலீடு செய்யப்படுகின்றது. மேலும், நிச்சயமாக, தலைகீழ் செயல்பாடு Z = ஒய் ^-1 (x) என்பது முழுமையாக உறவு மற்றும் மாறிகள் உறவு விவரிக்கிறது. முக்கிய குறிப்பு - அவசியம் ஒரு புதிய வேற்றுமை DZ பதிலாக வேற்றுமை டிஎக்ஸ், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த மாறி மாற்றத்திற்கு பின்னர், எல்லா இடங்களிலும் அது பதிலாக வெறும் தொகையீட்டுச் உள்ள ஈடுபடுத்துகிறது.

உதாரணம்:

• கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ∫ (கள் + 1) / (ங்கள் ² + 2s - 5) DS

பதிலீட்டு Z = (கள் + 1) விண்ணப்பிக்கவும் / (ங்கள் ² + 2s-5). பின்னர் DZ = 2sds = 2 +2 (கள் + 1) DS <=> (கள் + 1); ds = DZ / 2. இதன் விளைவாக, பின்வரும் வெளிப்பாடு, மிகவும் எளிதானது இது கணக்கிட:

∫ (கள் + 1) / (ங்கள் ² + 2s-5); ds = ∫ (DZ / 2) / Z = 1 / 2ln | z, | + சி = 1 / 2ln | ங்கள் ² + 2s-5 | + சி;

• நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த ∫2 ^{ங்கள்} இ ^{ங்கள்} டிஎக்ஸ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்

பின்வரும் வடிவில் மாற்றியமைத்தன தீர்க்க:

^{∫2 ங்கள் இ ங்கள்; ds = ∫ (} 2e) கள் DS.

நாம் (அது இன்னும் கள் உள்ளது வாதம் இந்த படி அல்ல பதிலாக) ஒரு = 2e மூலம் குறிக்க, நாம் கொடுக்க எங்கள் வெளித்தோற்றத்தில் சிக்கலான ஒருங்கிணைந்த அடிப்படை அட்டவணை வடிவத்தில்:

^{∫ (2e) கள்; ds = ∫a} ங்கள்; ds = ஒரு ங்கள் / lna + சி = (2e) கள் / Ln (2e) + சி = 2 ^எஸ் இ ^{ங்கள்} / Ln (2 + LNE) + சி = 2 ^எஸ் இ ^{ங்கள்} / (LN 2 +1) + சி

ஒரு வேற்றுமை அடையாளம் சுருக்குகிறது

மூலம் மற்றும் பெரிய, காலவரையற்ற Integrals இந்த முறை - மாறுகின்ற மாற்றத்தின் கொள்கை இரட்டை சகோதரர், ஆனால் பதிவு செயல்பாட்டில் வேறுபாடுகள் உள்ளன. எங்களுக்கு இன்னும் விரிவாக சிந்திக்கலாம்.

என்றால் ∫v (x) என்பது டிஎக்ஸ் = வி (x) என்பது + சி மற்றும் y = z, (x) பின்னர் ∫v (y) என்ற டிஒய் = வி (y) என்ற + சி

அதே நேரத்தில் நாங்கள் அற்பமான ஒருங்கிணைந்த டிரான்ஸ்ஃபார்மேஷன்கள், இது மத்தியில் மறக்க கூடாது:

• டிஎக்ஸ் = D (x +), மற்றும் அங்குதான் - ஒவ்வொரு நிலையான;
• டிஎக்ஸ் = (1 / அ) ஈ (கோடாரி + ஆ), அங்கு ஒரு - நிலையான மீண்டும், ஆனால் பூஜ்யம்;
• xdx = 1 / 2d (x ² + ஆ);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = D (sinx).

நாம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த கணக்கிட எங்கே பொதுப்படையான நேரங்களில் நினைத்தால், உதாரணங்கள் W '(x) என்பது டிஎக்ஸ் = DW (x) என்பது பொதுவான சூத்திரம் கீழ் மேன்மையானது.

உதாரணங்கள்:

• கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ∫ (2s +3) ² DS, DS = 1 / 2d (2s +3)

∫ (2s +3) ^2; ds = 1 / 2∫ (2s +3) ² ஈ (2s + 3) = (1/2) X ((2s + ^{3) 2)} / 3 + சி = (1/6) எக்ஸ் (2s +3) ² + சி;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + சி

ஆன்லைன் உதவி

சில சந்தர்ப்பங்களில், இது தவறு முடியும் அல்லது சோம்பேறித்தனம், அல்லது ஒரு அவசர தேவை, நீங்கள் ஆன்லைனில் தூண்டிகளைப் மாறாக, ஒரு கால்குலேட்டர் காலவரையற்ற Integrals பயன்படுத்த பயன்படுத்த முடியும், அல்லது. வெளிப்படையான சிக்கலான மற்றும் Integrals இயற்கையான முரண்பாட்டை போதிலும், முடிவு "நீங்கள் ... பிறகு செய்தால் ..." கொள்கை அடிப்படையில் அமைந்த தங்கள் குறிப்பிட்ட அல்கோரிதம், உட்பட்டது.

நிச்சயமாக, இது போன்ற ஒரு கால்குலேட்டர் ஒரு குறிப்பாக சிக்கலான உதாரணங்கள், இதில் ஒரு முடிவை செயற்கையாக செயல்பாட்டில் சில உட்பொருட்களை அறிமுகப்படுத்தி "கட்டாயப்" கண்டுபிடிக்க வேண்டும் வழக்குகள் உள்ளன, ஏனெனில் முடிவுகளை அடைய வெளிப்படையான வழிகள் உள்ளன மாஸ்டர் மாட்டேன். இந்த அறிக்கையின் சர்ச்சைக்குரிய இயல்பு போதிலும், அது கணிதம் போன்ற, கொள்கையளவில் ஒரு சுருக்கப் அறிவியல், மற்றும் அதன் முதன்மையான நோக்கம் எல்லைகளை அதிகாரம் தேவை கருதுகிறது, உண்மை. உண்மையில், ஒரு மென்மையான ரன்-ல் கோட்பாடுகள் மேலே நகர்த்த மற்றும் மாற்றமடைந்து, எனவே காலவரையற்ற Integrals தீர்க்கும் உதாரணங்கள், எங்களுக்கு கற்றுக் கொடுத்த என்று நினைக்கவில்லை மிகவும் கடினமாக உள்ளது - இந்த வாய்ப்புகளை உயரம். ஆனால் மீண்டும் விஷயங்கள் தொழில்நுட்ப பக்கத்தில். கணக்கீடுகள் சரிபார்க்க குறைந்தது, நீங்கள் இது எங்களுக்கு எழுதப்பட்டது சேவையைப் பயன்படுத்தலாம். சிக்கலான வெளிப்பாடுகள் தானியங்கி கணக்கீடு தேவை இருந்தால், பின்னர் அவர்கள் ஒரு தீவிரமான மென்பொருள் மேற்கொள்வார்கள் இல்லை. முதன்மையாக சூழல் மத்லப் மீது கவனம் செலுத்த வேண்டும்.

விண்ணப்ப

அது விமானம் வெளிப்படையான பயன்பாடு என்பதைப் பார்க்க கடினம் என்பதால் முதல் பார்வையில் காலவரையற்ற Integrals முடிவு, உண்மையில் இருந்து முற்றிலும் பற்றற்றிருந்தாலும் தெரிகிறது. உண்மையில், நேரடியாக உன்னால் முடியாது எங்கிருந்தும் அவற்றை பயன்படுத்த, ஆனால் அவர்கள் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படும் தீர்வுகளை வாபஸ் செயல்பாட்டில் ஒரு தேவையான இடைநிலை உறுப்பு உள்ளன. இவ்வாறு, மீண்டும் வகையீட்டுத் ஒருங்கிணைப்பு, சமன்பாடுகள் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் இதனால் பங்கேற்கின்றனர்.
சுருக்கமாக, தற்போதைய மற்றும் எதிர்கால வடிவமைப்பதில் கொண்டிருக்கிறது என்று எல்லாம் - இதையொட்டி, இந்த சமன்பாடுகள் இயந்திர பிரச்சினைகள், பயணப்பாதை கணக்கீடு மற்றும் வெப்பக்கடத்துத் முடிவை மீது நேரடி தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும். மேலும் மேலும் புதிய கண்டுபிடிப்புகள் நிறைவேற்ற நாம் மேலே, ஒரு தளமாக, முதல் பார்வையில் மட்டுமே அற்பமான கருதப்படுகிறது இருந்ததாக அவற்றின், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த உதாரணங்கள்தொடங்குவதற்கு.