தி ரிமேன் கருதுகோள். பிரதான எண்களின் விநியோகம்

1900 ஆம் ஆண்டில், கடந்த நூற்றாண்டின் மிகப் பெரிய விஞ்ஞானிகளில் ஒருவரான டேவிட் ஹில்பெர்ட் கணித விஞ்ஞானத்தில் 23 தீர்க்கப்படாத பிரச்சினைகளைக் கொண்டிருந்த ஒரு பட்டியலை தொகுத்தார். மனித சமுதாயத்தின் இந்தப் பகுதியின் வளர்ச்சியைப் பற்றி அவர்கள் மீது மிகுந்த தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது. 100 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, களிமண் கணித நிறுவனம் மில்லினியம் சவாலாக அறியப்பட்ட 7 பிரச்சினைகள் பட்டியலை வழங்கியது. அவர்களில் ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரு முடிவுக்கு 1 மில்லியன் டாலர் பரிசு வழங்கப்பட்டது.

இரண்டு புதிர்கள் பட்டியலில் இருந்த ஒரே மாதிரியான பிரச்சனை, சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி விஞ்ஞானிகளுக்கு ஒரு நூற்றாண்டுக்கும் மேலாக இருந்தது, ரிமேன் கருதுகோளாக மாறிவிட்டது. அவள் முடிவெடுப்பதற்கு இன்னும் காத்திருக்கிறாள்.

சுருக்கமான வாழ்க்கை குறிப்பு

ஜார்ஜ் ஃபிரீட்ரிச் பெர்ன்ஹார்ட் ரிமேன் 1826 ஆம் ஆண்டில் ஹானோவரில் ஒரு ஏழை போதகரின் பெரிய குடும்பத்தில் பிறந்தார், 39 ஆண்டுகள் வாழ்ந்தார். அவர் 10 படைப்புகளை வெளியிட முடிந்தது. இருப்பினும், ஏற்கனவே தனது வாழ்நாளில் ரிமேன் அவரது ஆசிரியரான ஜோஹன் காஸின் வாரிசாக கருதப்பட்டார். 25 வயதில், இளம் விஞ்ஞானி "ஒரு சிக்கலான மாதிரியின் செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டின் அடித்தளங்களை" ஆய்வு செய்தார். பின்னர் அவர் தனது சொந்த கருதுகோளை உருவாக்கினார், இது புகழ் பெற்றது.

பிரதான எண்கள்

ஒரு நபர் கணக்கிட கற்று போது கணிதம் தோன்றினார். அதே சமயம், எண்கள் பற்றிய முதல் கருத்துக்கள் தோன்றின, பின்னர் அவை பின்னர் வகைப்படுத்தப்பட்டன. அவர்களில் சிலருக்கு பொதுவான பண்புகள் இருப்பதாக குறிப்பிட்டது. குறிப்பாக, எண்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிட அல்லது பொருள்களின் எண்ணிக்கையை குறிக்கப் பயன்படும் இயற்கை எண்களில், ஒற்றுமைக்குள்ளாகவும் தங்களை ஒரு பிரிவாகவும் பிரித்த ஒரு குழுவானது தனித்தன்மை வாய்ந்தது. அவர்கள் எளிய அழைக்கப்பட்டனர். அத்தகைய எண்களின் முடிவில் முடிவில்லா தேற்றம் ஒரு நேர்த்தியான ஆதாரம் யூக்லிட் அவரது "துவக்கங்களில்" வழங்கப்பட்டது. இப்போது, அவர்களின் தேடல் தொடர்கிறது. குறிப்பாக, ஏற்கனவே அறியப்பட்ட மிகப்பெரிய எண்ணிக்கை 2 ^{74 207 281} - 1 ஆகும்.

யூலரின் சூத்திரம்

பிரதான எண்களின் தொகுப்பு முடிவின் கருத்துடன் யூக்ளிட், ஒரே பிரதான காரணிமயமாக்கலின் இரண்டாவது கோட்பாட்டை வரையறுத்துள்ளார். இது படி, எந்த நேர்மறை முழுமையான ஒரே ஒரு பகா எண்களின் தயாரிப்பு ஆகும். 1737 இல், பெரிய ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் லியோனார்ட் யூலர், யூக்ளிட்டின் முதல் தேற்றத்தை முடிவிலா வடிவத்தில் கீழே வழங்கினார்.

இது zeta செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இங்கு s என்பது மாறிலி, மற்றும் p அனைத்து எளிய மதிப்புகளையும் எடுக்கும். அது நேரடியாக பின்வருமாறு மற்றும் சிதைவு தனித்துவத்தை பற்றி யூக்ளிட் அறிக்கை.

ரிமேன் ஜெட்டா செயல்பாடு

ஒளியின் சூத்திரத்தை மிகவும் ஆச்சரியமாக இருக்கிறது, ஏனெனில் இது எளிய மற்றும் முழு எண்களுக்கு இடையே உள்ள விகிதத்தை அமைக்கிறது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அதன் இடது பகுதியில் எண்ணற்ற பல வெளிப்பாடுகள் பெருமளவில் உள்ளன, எளியவற்றைப் பொறுத்து, மற்றும் அனைத்து நேர்மறை முழுமையுடனான கூட்டு தொகை சரியானது.

ரிமேன் யூலரை விடவும் அதிகமாக சென்றார். எண்களின் விநியோக பிரச்சினைக்கு முக்கிய கண்டுபிடிக்க, அவர் உண்மையான மற்றும் சிக்கலான மாறிகள் இரண்டு சூத்திரம் தீர்மானிக்க முன்மொழியப்பட்டது. இது பின்னர் ரிமேன் ஜெட்டா செயல்பாடு என்று அழைக்கப்பட்டது. 1859 ஆம் ஆண்டில், விஞ்ஞானி ஒரு கட்டுரையை "கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புக்கு மேல் இல்லை பிரதான எண்களின் எண்ணிக்கை" என்ற தலைப்பில் ஒரு கட்டுரையை வெளியிட்டார், அங்கு அவர் அனைத்து கருத்துகளையும் சுருக்கமாகக் கூறினார்.

ரிமென் எலியர் தொடரைப் பயன்படுத்தி முன்மொழியப்பட்டார், எந்த உண்மையான s> 1 க்கும். சிக்கலான களுக்கு அதே சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுமானால், இந்த மாதிரியின் எந்த மதிப்பிற்கும் இந்த தொடர் மாறும். 1-க்கும் அதிகமான உண்மையான பகுதியுடன் உண்மையான பகுதியைக் கொண்டு தொடர்வோம். ரீமேன் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியை நடைமுறைப்படுத்தி, அனைத்து சிக்கலான எண்களுக்கு வரையான விரிவாக்கத்தை விரிவுபடுத்தினார், ஆனால் "யூனிட் அவுட்" யூனிட். S = 1 க்கு zeta செயல்பாடு முடிவிலாவிற்கு அதிகரிக்கிறது, ஏனெனில் அது விலக்கப்பட்டது.

நடைமுறை அர்த்தம்

ஒரு இயற்கை கேள்வி எழுகிறது: சுவாரஸ்யமான மற்றும் முக்கியமானது zeta செயல்பாடு, இது பூஜ்ய கற்பிதக் கொள்கையில் ரிமேன் வேலைகளில் முக்கியமானது எது? என அறியப்படுகிறது, நேரத்தில் எளிய எண்கள் மத்தியில் பிரதான எண்களின் விநியோகம் விவரிக்கும் எளிமையான முறை இல்லை. X ஐ மீறாத பிரதான எண்களின் எண் pi (x) என்பது zeta சார்பின் nontrivial zeros விநியோகத்தின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது என்பதைத் தெரிந்துகொள்ள ரிமென் வெற்றி பெற்றார். மேலும், சில கிரிப்டோகிராஃபி நெறிமுறைகள் செயல்பாட்டின் நேர மதிப்பீடுகளை நிரூபிப்பதற்கு ரிமான் கருதுகோள் அவசியம்.

தி ரிமேன் கருதுகோள்

இந்த கணிதப் பிரச்சனையின் முதல் சூத்திரங்களில் ஒன்று, இது இன்று நிரூபிக்கப்படவில்லை, இதுபோன்ற ஒலிகளாகும்: அல்லாத அற்பமான 0 zeta-functions சிக்கலான எண்களாக உள்ளன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவர்கள் வரிசையில் Re கள் = ½ அமைந்துள்ளது.

பொதுவாக பொதுவான ரிமென் கருதுகோள் உள்ளது, இது அதே வலியுறுத்தலாகும், ஆனால் பொதுவாக டிரிச்லெட் எல் சார்புகள் (கீழே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்) என அழைக்கப்படும் ஜெட்டா-செயல்பாடுகளை பொதுமைப்படுத்த வேண்டும்.

சூத்திரத்தில், χ (n) சில எண் தன்மை (modulo k) ஆகும்.

ரிமேனியன் அறிக்கையை பூஜ்ய கற்பிதக் கொள்கையாகக் கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் அது ஏற்கனவே கிடைக்கக்கூடிய மாதிரி தரவுடன் இணக்கமாக சோதிக்கப்பட்டது.

ரிமேன் நியாயப்படுத்தினார்

ஜெர்மானிய கணிதவியலாளரின் கருத்து வெறுமனே சாதாரணமாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. உண்மையில், அந்த நேரத்தில் விஞ்ஞானி பிரதான எண்களின் விநியோகத்தில் தேற்றம் நிரூபிக்கப் போகிறார் என்பதுடன், இந்த சூழலில் இந்த கருதுகோள் சிறப்பு முக்கியத்துவத்தை கொண்டிருக்கவில்லை. எவ்வாறெனினும், பல பிரச்சினைகள் தீர்க்கப்படுவதில் அதன் பங்கு மகத்தானது. பல விஞ்ஞானிகளால் தற்போது ரிமன்னின் அனுமானம் நிரூபிக்கப்படாத கணித சிக்கல்களில் மிக முக்கியமானதாக கருதப்படுகிறது.

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, விநியோக கோட்பாட்டை நிரூபிக்க, முழுமையான ரிமேன் கருதுகோள் தேவைப்படாது, மற்றும் zeta செயல்பாட்டின் எந்தவொரு nontrivial பூஜ்யத்தின் உண்மையான பகுதியும் 0 முதல் 1 வரையிலான இடைவெளியில் உள்ளது என்பதை நியாயமாக நியாயப்படுத்துவது போதுமானது. இது இந்த சொத்துடனிலிருந்து 0-m மேலே கொடுக்கப்பட்ட சரியான சூத்திரத்தில் தோன்றும் Zeta செயல்பாடுகள், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மாறிலி. X இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு இது முற்றிலும் இழக்கப்படலாம். மிக அதிக x க்கு கூட மாறாமல் இருக்கும் ஒரே சூத்திரத்தின் ஒரே உறுப்பினர் x தானே. எஞ்சிய கலப்பு சொற்கள் அதை ஒப்பிடுகையில் மறைந்து போகின்றன. எனவே, எடையிடப்பட்ட தொகை x க்கு முனைகிறது. இந்த சூழ்நிலையை பிரதான எண்களின் விநியோகத்தில் தேற்றம் பற்றிய உண்மையை உறுதிப்படுத்திக்கொள்ளலாம். எனவே, ரிமேன் ஜெட்டா-சார்பின் பூஜ்யம் ஒரு சிறப்புப் பாத்திரத்தைக் கொண்டுள்ளது. இது போன்ற மதிப்புகள் விரிவாக்க சூத்திரத்தில் கணிசமான பங்களிப்பை செய்ய முடியாது என்பதை நிரூபிக்கின்றன.

ரிமனின் பின்பற்றுபவர்கள்

காசநோய் இருந்து துயர மரணம் இந்த விஞ்ஞானி தனது திட்டத்தை அதன் தர்க்கரீதியான முடிவிற்கு கொண்டு வர அனுமதிக்கவில்லை. இருப்பினும், அவர் ஷெட்டியின் படைப்பிரிவைச் சேர்ந்தவர். டி லா வால்லே பௌஸ்சின் மற்றும் ஜாக்ஸ் ஹதாமார்ட். ஒருவருக்கொருவர் பொருட்படுத்தாமல், பிரதான எண்களின் விநியோகத்தில் ஒரு கோட்பாட்டை அவர்கள் பெற்றனர். ஹதாமார்ட் மற்றும் Poussin அனைத்து அல்லாத சிறிய 0 zeta செயல்பாடுகளை விமர்சன இசைக்குழு உள்ள என்று நிரூபிக்கும் வெற்றி.

இந்த விஞ்ஞானிகளின் பணிக்கு நன்றி, கணிதத்தில் ஒரு புதிய திசை - பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாடு - வெளிப்பட்டது. பின்னர், மற்ற ஆராய்ச்சியாளர்கள் ரெய்மேன் பணிபுரிந்த கோட்பாட்டின் சற்றே மிகவும் பழமையான ஆதாரங்களைப் பெற்றனர். குறிப்பாக, பால் Erdes மற்றும் Atle Selberg சிக்கலான பகுப்பாய்வு பயன்பாடு தேவையில்லை இது உறுதி என்று மிகவும் சிக்கலான தருக்க சங்கிலி கூட கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இருப்பினும், இந்த காலக்கட்டத்தில், பல முக்கிய கோட்பாடுகள் ஏற்கனவே ரிமன்னின் கருத்தியால் நிரூபிக்கப்பட்டிருக்கின்றன, அவற்றில் எண் கோட்பாட்டின் அநேக செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியது. இது சம்பந்தமாக, எர்டோஸ் மற்றும் அட்லே செல்பெர்க் ஆகியோரின் புதிய வேலை நடைமுறையில் எதையும் பாதிக்கவில்லை.

1980 ஆம் ஆண்டில் டொனால்ட் நியூமன் என்பவரால் இந்த சிக்கலின் எளிய மற்றும் மிக அழகான சான்றுகளில் ஒன்று காணப்பட்டது. இது கோச்சியின் நன்கு அறியப்பட்ட தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

நவீன கிரிப்டோகிராஃபி அடிப்படைகளை அச்சுறுத்தலாமா?

தரவு குறியாக்கம் ஹைரோக்ளிஃப்களின் வருகையுடன் எழுந்தது, மேலும் துல்லியமாக, அவை தங்களை முதல் குறியீடாகக் கருதலாம். தற்போது, டிஜிட்டல் குறியாக்கவியலின் முழு வரியும் உள்ளது, இது குறியாக்க நெறிமுறைகளை உருவாக்குகிறது.

எளிய மற்றும் "semisimple" எண்கள், அதாவது, ஒரே வகுப்பில் 2 பிற எண்கள் மட்டுமே பிரிக்கக்கூடியவை, RSA எனப்படும் ஒரு பொது விசை முறைக்கு அடியில். இது பரவலான பயன்பாடு. குறிப்பாக, ஒரு மின்னணு கையொப்பத்தை உருவாக்கும் போது இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. "தேங்காய்களை" அணுகக்கூடிய சொற்களில் பேசினால், பிரதான எண்களின் விநியோகத்தில் ஒரு அமைப்பின் இருப்பை வலியுறுத்துகிறது ரிமேன் கருதுகோள். இதனால், குறியாக்க விசைகளின் வலுவானது, இ-காமர்ஸ் துறையில் ஆன்லைன் பரிவர்த்தனைகளின் பாதுகாப்பு சார்ந்தது, கணிசமாக குறைக்கப்படுகிறது.

பிற தீர்க்கப்படாத கணித சிக்கல்கள்

புத்தாயிரத்தின் மற்ற பணிகளுக்கு ஒரு சில வார்த்தைகளை அர்ப்பணிப்பதன் மூலம் பயனுள்ளது. இவை பின்வருமாறு:

• வகுப்புகள் பி மற்றும் என்.பி. ஆகியவற்றின் சமத்துவம். பிரச்சனை பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: ஒரு குறிப்பிட்ட கேள்விக்கு ஒரு நேர்மறையான பதில் பல்லுறுப்புக்கோவைக் காலத்திற்கு சோதிக்கப்பட்டிருந்தால், இந்த கேள்வியின் பதிலை விரைவில் காணலாம் என்பது உண்மைதானா?
• ஹாட்ஜ் கருதுகோள். எளிமையான சொற்களில், இது பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்படலாம்: சில வகையான புரோஜெக்ட் இயற்கணித வகைகள் (இடைவெளிகள்), ஹாட்ஜ் சுழற்சிகள் ஒரு வடிவியல் விளக்கம், அதாவது இயற்கணித சுழற்சிகள் கொண்ட பொருள்களின் கலவையாகும்.
• பாயின்ஸ்கே உந்துதல். இது இன்று வரை நிரூபிக்கப்பட்ட ஆயிரமாயிரம் சிக்கல்களில் ஒன்றாகும். இதன் படி, 3-பரிமாணக் கோளத்தின் குறிப்பிட்ட பண்புகள் கொண்ட எந்த 3-பரிமாணப் பொருள் ஒரு உருமாற்றத்திற்கு ஒரு கோளமாக இருக்க வேண்டும்.
• குவாண்டம் யங்-மில்ஸ் கோட்பாட்டின் வலியுறுத்தல். விண்வெளி வி ⁴ க்கான இந்த விஞ்ஞானிகளால் முன்னேற்றப்பட்ட குவாண்டம் கோட்பாடு உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியமாகிறது மற்றும் எந்த எளிய பாதை கமாண்ட் குழு G க்கு 0-வது வெகு குறைபாடு உள்ளது.
• தி பிர்ச் ஸ்வின்னர்ட்டன்-டயர் கனவு. குறியாக்கவியல் தொடர்பான மற்றொரு சிக்கல் இது. இது நீள்வட்ட வளைவுகளைப் பற்றியது.
• Navier-Stokes சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளின் இருப்பு மற்றும் மென்மையின் சிக்கல்.

இப்போது நீ ரிமேன் கருதுகோளை அறிந்திருக்கிறாய். எளிமையான சொற்களில், நாம் ஆயிரக்கணக்கில் மற்ற பணிகளைச் சித்தரிக்கிறோம். அவர்கள் தீர்க்கப்படுவார்கள் அல்லது அவர்களுக்கு ஒரு தீர்வு நேரம் இல்லை என்று நிரூபிக்கப்படும் என்ற உண்மையை நிரூபிப்பார்கள். கணிதம் பெருகிய முறையில் கணினிகளின் கணினி திறன்களைப் பயன்படுத்துவதால், இது நீண்ட காலம் காத்திருக்க வேண்டியது அரிது. எனினும், எல்லாமே தொழில்நுட்பத்திற்கு உட்பட்டவை அல்ல, விஞ்ஞானப் பிரச்சினைகளைத் தீர்ப்பதற்கு, உள்ளுணர்வு மற்றும் படைப்பாற்றல் ஆகிய அனைத்தும் முதலில் அவசியமானவை.