நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படை கருத்து. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சட்டங்கள்

பல, "நிகழ்தகவு கோட்பாடு" என்ற கருத்தை எதிர்கொண்டது, இது மிகவும் கடினமானதாக இருப்பதாக நினைத்து, மிகவும் கடினம் என்று நினைத்து பயந்தேன். ஆனால் எல்லாம் மிகவும் சோகமாக இல்லை. இன்று நாம் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படையான கருத்தை ஆராய்வோம், குறிப்பிட்ட உதாரணங்களில் பிரச்சினைகளை எவ்வாறு தீர்க்க வேண்டும் என்பதை அறியவும்.

அறிவியல்

கணிதத்தின் ஒரு பிரிவு "நிகழ்தகவு கோட்பாடு" என்று எதைப் படிப்பது? சீரற்ற நிகழ்வுகள் மற்றும் அளவுகோல்கள் ஆகியவற்றை அவர் குறிப்பிடுகிறார். பதினாறாம் நூற்றாண்டில் இந்த விவகாரத்தில் அக்கறை கொண்ட விஞ்ஞானிகள் முதன்முதலில் சூதாட்டத்தைப் படித்தார்கள். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படையான கருத்து ஒரு நிகழ்வு. இது அனுபவம் அல்லது கவனிப்பு மூலம் கூறப்படும் உண்மை. ஆனால் அனுபவம் என்ன? நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் மற்றொரு அடிப்படை கருத்து. இந்த சூழ்நிலைகள் தோற்றமல்ல, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட நோக்கத்துடன் உருவாக்கப்பட்டன. ஆராய்ச்சிக்காக, ஆராய்ச்சியாளர் தன்னை அனுபவத்தில் பங்கேற்கவில்லை, ஆனால் இந்த நிகழ்வுகளின் ஒரு சாட்சியாக இருப்பார், அவருக்கு எந்த செல்வாக்கும் இல்லை.

நிகழ்வுகள்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படையான கருத்து ஒரு நிகழ்வு என்று நாம் அறிந்தோம், ஆனால் வகைப்பாட்டையும் கருத்தில் கொள்ளவில்லை. அவை அனைத்தும் பின்வரும் பிரிவுகளில் விழுகின்றன:

• நம்பகமான.
• இம்பாசிபிள்.
• ரேண்டம்.

சோதனையின் போது எந்த நிகழ்வுகள் அனுசரிக்கப்படுகின்றன அல்லது உருவாக்கப்படுகின்றன என்பதோடு அவை அனைத்தும் இந்த வகைப்பாட்டிற்கு உட்பட்டவை. தனித்தனியாக ஒவ்வொரு இனத்தையும் தெரிந்துகொள்ள நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம்.

நம்பகமான நிகழ்வு

இது போன்ற ஒரு சூழ்நிலை, இதற்கு முன் தேவையான நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்ள வேண்டும். சாராம்சத்தை நன்கு புரிந்து கொள்வதற்கு, சில உதாரணங்கள் கொடுக்க நல்லது. இந்த சட்டம் இயற்பியல், வேதியியல், பொருளாதாரம் மற்றும் உயர் கணிதத்திற்கு உட்பட்டது. நிகழ்தகவு கோட்பாடு ஒரு நம்பகமான நிகழ்வாக இது போன்ற ஒரு முக்கியமான கருத்தை உள்ளடக்கியுள்ளது. சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

• ஊதியங்கள் வடிவத்தில் நாம் ஊதியம் பெறுகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்.
• நாங்கள் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்றோம், போட்டியை கடந்துவிட்டோம், இதற்கு கல்வி நிறுவனத்திற்கு அனுமதி வழங்குவதற்கு ஒரு பரிசை நாங்கள் பெறுகிறோம்.
• வங்கியில் பணத்தை முதலீடு செய்துள்ளோம், தேவைப்பட்டால், நாம் அவற்றை திரும்ப பெறுவோம்.

அத்தகைய நிகழ்வுகள் நம்பகமானவை. தேவையான அனைத்து நிபந்தனைகளையும் நாங்கள் சந்தித்திருந்தால், நாம் நிச்சயமாக எதிர்பார்க்கப்படும் முடிவு கிடைக்கும்.

இம்பாசிபிள் நிகழ்வுகள்

இப்போது நாம் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் கூறுகளை கருதுகிறோம். பின்வரும் வகை நிகழ்வு பற்றிய விளக்கம், அதாவது சாத்தியமற்றது என்பதை நாங்கள் முன்மொழிகிறோம். முதலாவதாக, மிக முக்கியமான விதியைப் பற்றி விவாதிக்கலாம் - ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வு நிகழ்தகவு பூச்சியமாகும்.

இந்த சூழலில் இருந்து பிரச்சினைகளை தீர்ப்பதில் பின்வாங்குவது சாத்தியமற்றது. ஒரு விளக்கத்திற்கு, இத்தகைய சம்பவங்களின் உதாரணங்களை நாம் கொடுக்கிறோம்:

• பத்து பத்து வெப்பநிலையில் நீரை உறிஞ்சி (இது சாத்தியமற்றது).
• மின்சாரம் இல்லாதிருப்பது எந்த வகையிலும் உற்பத்தியை பாதிக்காது (முந்தைய உதாரணத்தில் இது போலவே சாத்தியமற்றது).

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த வகை சாராம்சத்தை மிக தெளிவாக பிரதிபலிக்க வேண்டும். எந்த சூழ்நிலையிலும் ஒரு பரிசோதனையின் போது ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வு நடக்காது.

சீரற்ற நிகழ்வுகள்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் உட்கூறுகளைப் படித்தால், இந்த வகை நிகழ்வுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும். அவர்கள் இந்த விஞ்ஞானத்தைப் படிக்கிறார்கள். அனுபவத்தின் விளைவாக, ஏதாவது நடக்கலாம் அல்லது இல்லை. கூடுதலாக, சோதனை வரம்பற்ற எண்ணிக்கையிலான முறைகளை மேற்கொள்ளலாம். வலுவான எடுத்துக்காட்டுகள்:

• ஒரு நாணயம் ஒரு அனுபவம், அல்லது ஒரு சோதனை, ஒரு கழுகு ஒரு நிகழ்வு.
• கண்மூடித்தனமாக பந்தை வெளியே இழுத்து - ஒரு சோதனை, ஒரு சிவப்பு பந்து பிடித்து - இது ஒரு நிகழ்வு மற்றும் பல.

இத்தகைய உதாரணங்கள் வரம்பற்ற எண்ணாக இருக்கலாம், ஆனால், பொதுவாக, சாரம் தெளிவாக இருக்க வேண்டும். சம்பவங்கள் பற்றி அறிந்த அறிவுரைகளை சுருக்கமாகவும் ஒழுங்கமைக்கவும், ஒரு அட்டவணை வழங்கப்படுகிறது. நிகழ்தகவு கோட்பாடு ஆய்வுகள் அனைத்தும் கடைசியாக வழங்கப்பட்டவை.

சட்டங்கள்

நிகழ்தகவு கோட்பாடு ஒரு நிகழ்வின் வீழ்ச்சியின் சாத்தியத்தை ஆராயும் அறிவியல் ஆகும். மற்றவர்களைப் போல, சில விதிகள் உள்ளன. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் பின்வரும் சட்டங்கள் உள்ளன:

• சீரற்ற மாறிகள் வரிசைகளின் ஒருங்கிணைத்தல்.
• பெரிய எண்ணிக்கையின் சட்டங்கள்.

ஒரு சிக்கலான ஒரு சாத்தியத்தை கணக்கிடும் போது, எளிமையான மற்றும் விரைவான வழியில் விளைவை அடைய எளிய நிகழ்வுகளின் சிக்கலானவற்றைப் பயன்படுத்தலாம். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சட்டங்கள் சில கோட்பாடுகள் மூலம் எளிதில் நிரூபிக்கப்படுகின்றன என்பதை நாம் கவனத்தில் கொள்கிறோம். முதலாவது சட்டத்தைப் பற்றி முதலில் தெரிந்துகொள்ள நாங்கள் முதலில் பரிந்துரை செய்கிறோம்.

சீரற்ற மாறிகள் வரிசைகளின் ஒருங்கிணைத்தல்

பல வகையான ஒருங்கிணைப்பு இருப்பதை கவனிக்கவும்:

• சீரற்ற மாறிகள் வரிசை நிகழ்தகவு உள்ள convergent உள்ளது.
• கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது.
• சதுர இணைவு
• விநியோகத்தில் இணைத்தல்.

எனவே, ஈ மீது, அது புள்ளி பெற மிகவும் கடினம். இந்த தலைப்பை நீங்கள் புரிந்துகொள்ள உதவும் வரையறைகள் இங்கே உள்ளன. முதலில், முதல் காட்சி. பின்வரும் நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால், நிகழ்தகவு ஒரு காட்சியில் கூறப்படுகிறது : n முடிவிலிக்கு முந்தியுள்ளது, வரிசை எண் பூஜ்ஜியத்தைவிட அதிகமானது மற்றும் ஒற்றுமைக்கு நெருக்கமாக உள்ளது.

நாம் நிச்சயமாக அடுத்த படிவத்தை தொடர்கிறோம். இது முடிவில்லாமல் ஒரு எண்ணற்ற மாறுபாடுடன் முடிவடைகிறது என்று எண்ணப்படுகிறது, மேலும் P ஆனது ஒற்றுமைக்கு நெருக்கமான ஒரு மதிப்பைக் குறிக்கிறது.

அடுத்த வகை சராசரி சதுர கூட்டிணைப்பு ஆகும் . சி.கே.-இணைப்பதன் மூலம், திசையன் சீரற்ற செயல்களின் ஆய்வானது அவர்களின் ஒருங்கிணைந்த சீரற்ற செயல்களின் ஆய்வுக்கு குறைக்கிறது.

கடைசியாக வகை உள்ளது, அது ஒரு சுருக்கமான பார்வை எடுத்து சிக்கல்களை தீர்க்க நேரடியாக செல்லலாம். விநியோகத்தில் இணைத்தல் மற்றொரு பெயர் - "பலவீனமானது", மேலும் ஏன் என்று விளக்குகிறது. வரம்பிற்குட்பட்ட பகிர்வுச் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் அனைத்து அம்சங்களிலும் விநியோக செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்தல் என்பது பலவீனமான இணைத்தல் ஆகும்.

வாக்குறுதியை நிறைவேற்றுவதை உறுதிபடுத்திக் கொள்ளுங்கள்: பலவீனமான கூட்டிணைவு ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு நிகழ்தகவு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதில் இருந்து எல்லாவற்றிலுமே வேறுபடுகிறது. விநியோகம் என்பது செயல்பாட்டு செயல்பாடுகளை பயன்படுத்தி பிரத்தியேகமாக உருவாக்கப்பட்டது என்பதால் இது சாத்தியமாகும்.

பெரிய எண்ணிக்கையின் சட்டங்கள்

இந்த சட்டத்தின் சான்றுகளில் சிறந்த தத்துவவாதிகள் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகளாக இருப்பார்கள்:

• செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை.
• செபிஷேவின் தேற்றம்.
• செபிஷேவ் தேற்றத்தை பொதுமைப்படுத்தியது.
• மார்கோவின் தேற்றம்.

இந்த தத்துவங்களை நாம் கருத்தில் கொண்டால், இந்த கேள்வி பல டஜன் தாள்கள் தாமதமாகலாம். நமது நாட்டில், முக்கிய பணி நடைமுறையில் நிகழ்தகவு கோட்பாடு விண்ணப்பிக்க வேண்டும். நாங்கள் இப்போது அதை செய்ய பரிந்துரைக்கிறோம். ஆனால் இதற்கு முன்னர் நாம் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அத்தியாயங்களைக் கருதுகிறோம், அவை பிரச்சினைகளை தீர்ப்பதில் முக்கிய உதவியாளர்களாக இருக்கும்.

அடிகோள்கள்

ஒரு அசாதாரண நிகழ்வைப் பற்றி நாங்கள் பேசிக்கொண்டிருந்தபோது முதன்முதலாக நாங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்தோம். நினைவில் கொள்ளுங்கள்: ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வு நிகழ்தகவு பூஜ்யம். ஒரு உதாரணம் நாம் மிகவும் பிரகாசமான மற்றும் மறக்கமுடியாதது: பனிப்பொழிவு முப்பது டிகிரி செல்சியஸ் வெப்பநிலையில் விழுந்தது.

இரண்டாவது, இது போன்ற ஒலிகள்: ஒரு நம்பகமான நிகழ்வு ஒன்றுக்கு ஒரு நிகழ்தகவு நிகழ்கிறது. இப்போது கணித மொழியைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்: P (B) = 1.

மூன்றாவது: ஒரு சீரற்ற நிகழ்வு ஏற்படலாம் அல்லது இல்லை, ஆனால் வாய்ப்பு எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒன்றுக்கு மாறுபடும். ஒற்றுமைக்கு நெருக்கமான மதிப்பு, அதிக வாய்ப்பு; மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கினால், நிகழ்தகவு மிகவும் சிறியது. நாம் இதை கணித மொழியில் எழுதுகிறோம்: 0

கடைசியாக, நான்காவது அச்சு, இதைப் போல் ஒலிக்கிறது: இரண்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். நாம் அதை கணித மொழியில் எழுதுகிறோம்: பி (A + B) = P (A) + P (B).

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் ஒத்தியல்கள் எளிதான விதிகள் எளிதானவை என்பதை நினைவில் கொள்ளலாம். சில சிக்கல்களை தீர்க்க முயற்சி செய்யலாம், ஏற்கனவே அறிந்துள்ள அறிவு சார்ந்தவை.

லாட்டரி டிக்கெட்

முதலாவதாக, எளிய உதாரணம் பார்க்கலாம் - லாட்டரி. நீங்கள் அதிர்ஷ்டம் ஒரு லாட்டரி டிக்கெட் வாங்கி என்று கற்பனை. குறைந்தபட்சம் இருபது ரூபாய்களை வெல்வதற்கான சாத்தியக்கூறு என்ன? மொத்தத்தில், ஒரு ஆயிரம் டிக்கெட்டுகள் புழக்கத்தில் ஈடுபட்டுள்ளன, அவற்றுள் ஒன்று, ஐந்து நூறு ரூபிள் பரிசு, நூறு ரூபில் பத்து, இருபது ரூபிற்கு ஐம்பது, ஐந்து நூறு ரூபாய்க்கு நூறு. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கல்கள் வெற்றிகரமாக வாய்ப்புக் கிடைப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. இப்போது ஒன்றாக நாம் மேலே உள்ள பணியின் தீர்வுகளை ஆராய்வோம்.

கடிதம் மூலம் நாம் ஐந்தில் ரூபிள் ஒரு வெற்றி, பின்னர் ஒரு இழப்பு நிகழ்தகவு 0.001 இருக்கும். இது எப்படி வந்தது? அவர்களது மொத்த எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படும் "அதிர்ஷ்டம்" டிக்கெட்டுகளின் எண்ணிக்கை (இந்த வழக்கில்: 1/1000) தேவை.

உள்ளே - இது ஒரு நூறு ரூபிள் ஒரு ஆதாயம், நிகழ்தகவு 0.01 இருக்கும். இப்போது நாம் கடந்த கால நடவடிக்கைகளில் (10/1000) அதே கொள்கையில் செயல்பட்டோம்

சி - வெற்றி இருபது ரூபிள் சமமாக. நாம் நிகழ்தகவு கண்டுபிடிக்கிறோம், இது 0.05 க்கு சமம்.

மீதமுள்ள டிக்கெட் எங்களுக்கு ஆர்வம் இல்லை, ஏனெனில் அவர்களின் பரிசு நிதி நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஒரு செட் விட குறைவாக உள்ளது. நான்காவது axiom ஐ பயன்படுத்து: குறைந்தபட்சம் இருபது ரூபிள் வெல்லும் நிகழ்தகவு P (A) + P (B) + P (C) ஆகும். இந்த நிகழ்வின் தோற்றத்தின் நிகழ்தகவைக் குறிப்பிடுவது கடிதம், ஏற்கனவே அவற்றை முந்தைய செயல்களில் கண்டறிந்துள்ளோம். இது தேவையான தரவு சேர்க்க மட்டுமே உள்ளது, பதில் நாம் 0,061 கிடைக்கும். இந்த எண் நியமிப்பின் கேள்விக்கு பதில் அளிக்கப்படும்.

அட்டை டெக்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கல்கள் மிகவும் சிக்கலானவை, உதாரணமாக நாம் பின்வரும் பணியை எடுத்துக்கொள்கிறோம். நீங்கள் முப்பத்தி ஆறு அட்டைகள் ஒரு தட்டு முன். உங்கள் பணி ஒரு வரிசையில் இரண்டு கார்டுகளை இழுக்க, ஸ்டேக் ஒன்றும் இல்லாமல், முதல் மற்றும் இரண்டாவது அட்டைகள் ஏஸஸாக இருக்க வேண்டும், அந்த வழக்கு விஷயமல்ல.

முதலாவதாக, முதல் அட்டை ஒரு சீட்டு என்று நிகழ்தகவு காண்போம், இதற்காக நாம் முப்பத்தி ஆறுகளால் பிரிக்கிறோம். அவர்கள் அதை ஒதுக்கி வைத்தனர். நாம் இரண்டாவது அட்டை பெறும், அது மூன்று முப்பத்தி ஐந்தாயிரம் ஒரு நிகழ்தகவு ஒரு சீட்டு இருக்கும். இரண்டாவது நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, நாங்கள் முதலில் இழுத்த அட்டை சார்ந்தது, இது ஏஸ் அல்லது இல்லையா என்று நாங்கள் ஆச்சரியப்படுகிறோம். இதிலிருந்து நிகழ்வு நிகழ்வு B யை பொறுத்து நிகழ்வு பி.

அடுத்த செயலானது ஒரே நேரத்தில் செயலாக்கத்தின் நிகழ்தகவு ஆகும், அதாவது A மற்றும் B ஆகியவற்றை பெருக்குவோம். அவற்றின் தயாரிப்பு பின்வருமாறு: ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, பிற நிகழ்வுக்கான நிகழ்தகவு மூலம் பெருக்கப்படுகிறது, நாம் கணக்கிடுகின்றோம், இது முதல் நிகழ்வில் ஏற்பட்டது என்று நினைத்து, முதல் சீட்டு ஏஸ் நீட்டியது.

எல்லாவற்றையும் தெளிவாக்குவதற்காக, ஒரு நிகழ்வின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு போன்ற உறுப்புக்கு நாம் ஒரு பதவி வழங்குவோம். இது ஒரு நிகழ்வு ஏற்பட்டுள்ளது என்று கணக்கிடப்படுகிறது. பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது: பி (பி / ஏ).

பி (A _* B) = P (A) _* பி (B / A) அல்லது P (A _* B) = பி (பி) _* பி (A / B). (4/36) _* ((3/35) / (4/36). (100/36) 82 = 0.09 நாம் ஒரு வரிசையில் இரண்டு ஆஸ்களைக் கூட்டுவதற்கான நிகழ்தகவு ஒன்பது ஒன்பது ஆகும், மதிப்பு மிகச் சிறியது, இது நிகழ்வின் தோற்றத்தின் நிகழ்தகவு மிகக் குறைவானது என்பதைக் காட்டுகிறது.

மறக்கப்பட்ட எண்

நிகழ்தகவு கோட்பாடு ஆய்வுகள் பல பணிகளை ஆய்வு செய்ய நாங்கள் வழங்குகிறோம். நீங்கள் ஏற்கனவே இந்த கட்டுரையில் சில தீர்வுகளின் உதாரணங்களைப் பார்த்துள்ளீர்கள், பின்வரும் சிக்கலை தீர்க்க முயற்சிப்போம்: பையன் தனது நண்பரின் தொலைபேசி எண்ணின் கடைசி இலக்கை மறந்துவிட்டார், ஆனால் அழைப்பு மிக முக்கியமானது என்பதால், அவர் எல்லாவற்றையும் தட்டச்சு செய்யத் தொடங்கினார். நாம் மூன்று மடங்கிற்கும் அதிகமான அழைப்புகளை எடுப்போம் என்று கணக்கிட வேண்டும். விவாதம், சட்டங்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அத்தியாயங்கள் அறியப்பட்டால் சிக்கல் தீர்வு என்பது மிகவும் எளிமையானது.

நீங்கள் தீர்வு காணும் முன், அதை நீங்களே தீர்க்க முயற்சி செய்யுங்கள். கடைசி எண்ணிக்கை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒன்பது வரை இருக்கும், அதாவது பத்து மதிப்புகள் மட்டுமே இருக்கும் என்று நமக்குத் தெரியும். விரும்பியதைத் தட்டச்சு செய்வதற்கான நிகழ்தகவு 1/10 ஆகும்.

அடுத்து, நிகழ்வின் தோற்றத்தின் மாறுபாடுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், அந்த பையன் யூகித்து, உடனடியாக சரியான ஒன்றை அடித்தார் என்று நினைக்கிறேன், அத்தகைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 1/10 ஆகும். இரண்டாவது விருப்பம்: முதல் மிஸ் மிஸ், மற்றும் இலக்கு இரண்டாவது. அத்தகைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவை கணக்கிடுங்கள்: 9/10 1/9 பெருக்கினால், இறுதியில் நாம் 1/10 கிடைக்கும். மூன்றாவது விருப்பம்: முதல் மற்றும் இரண்டாவது அழைப்பு முகவரியில் இல்லை, அவர் விரும்பிய இடத்திலேயே மூன்றாவது பையன் கிடைத்துள்ளார். இதுபோன்ற ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவை கணக்கிடுவோம்: 9/10 8/9 மற்றும் 1/8 பெருக்கினால், இதன் விளைவாக 1/10 கிடைக்கிறது. மற்ற மாறுபாடுகள் சிக்கலின் நிலைமையில் எங்களுக்கு ஆர்வம் இல்லை, எனவே முடிவுகளை சேர்க்க வேண்டும், இறுதியில் 3/10 வேண்டும். பதில்: சிறுவன் மூன்று மடங்கிற்கும் அதிகமான அழைப்பை நிகழும் நிகழ்தகவு 0.3 ஆகும்.

எண்கள் கொண்ட அட்டைகள்

நீங்கள் ஒன்பது கார்டுகள் இருக்கும் முன், ஒவ்வொன்றும் ஒன்பது முதல் இருக்கும், எண்கள் மறுபடியும் செய்யாது. அவர்கள் ஒரு பெட்டி மற்றும் முற்றிலும் கலக்கினர். நீங்கள் நிகழ்தகவு கணக்கிட வேண்டும்

• இன்னும் எண் இருக்கும்;
• இரண்டு இலக்கம்.

தீர்வுக்கு செல்லுவதற்கு முன், m என்பது வெற்றிகரமான நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை என்று சொல்லலாம், n என்பது மொத்த விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை. எண் கூட இருக்கும் என்று நிகழ்தகவு காண்போம். இது எண்களை நான்கு என்று கணக்கிடுவது கடினமாக இருக்காது, இது எங்கள் மீதான், ஒன்பது மாறுபாடுகள் உள்ளன, அதாவது, m = 9. பின்னர் நிகழ்தகவு 0.44 அல்லது 4/9 ஆகும்.

இரண்டாவது வழக்கை நாங்கள் கருதுகிறோம்: விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை ஒன்பது ஆகும், மற்றும் எந்தவொரு வெற்றிகரமான விளைவுகளும் இருக்காது, அதாவது மீ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். ஒரு நீளமான அட்டை இரண்டு இலக்க எண்ணை கொண்டிருக்கும் நிகழ்தகவு பூஜ்யமாகும்.